Cálculo Exemplos

$2 x^{2} y - \frac{3}{y} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} y - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} y - \frac{3}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2} y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{y}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $y$ por $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.7

Subtraia $y'$ de $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Etapa 2.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Etapa 2.3.10

Combine $3$ e $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x^{2} y' + 4 y x + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, 1, y^{2}, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ por $y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ por $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y \cdot y^{2} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Mova $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y^{1}) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{2 + 1} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0 y^{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $0$ por $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $4 x y^{3}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y' y^{2} + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $2 x^{2} y' y^{2} + 3 y'$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $2 x^{2} y' y^{2}$ .

$y' (2 x^{2} y^{2}) + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3 = - 4 x y^{3}$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3$ .

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$

Etapa 5.3.3

Divida cada termo em $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ por $2 x^{2} y^{2} + 3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.3.1

Divida cada termo em $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ por $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

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Etapa 5.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Etapa 5.3.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$