Cálculo Exemplos

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Combine os termos opostos em $y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1.1

Subtraia $y y'$ de $y y'$ .

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.8.3.1.2

Some $- x y'$ e $0$ .

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.8.3.2

Multiplique $- y \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.8.3.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

Etapa 2.8.4

Reordene os termos.

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.8.5

Fatore $- 1$ de $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.8.6

Fatore $- 1$ de $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.8.7

Fatore $- 1$ de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.8.8

Reescreva $- (x y' - y)$ como $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 2.8.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Etapa 5.1.2.2

Divida $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

Etapa 5.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (2 x)$ como $- (2 x)$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

Etapa 5.2

Multiplique os dois lados por ${(- x + y)}^{2}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum de ${(- x + y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Etapa 5.3.1.2

Reordene $x$ e $y'$ .

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Etapa 5.4

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique $- 2 x {(- x + y)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Reescreva.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Etapa 5.4.1.2

Reescreva ${(- x + y)}^{2}$ como $(- x + y) (- x + y)$ .

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

Etapa 5.4.1.3

Expanda $(- x + y) (- x + y)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

Etapa 5.4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

Etapa 5.4.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Etapa 5.4.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Etapa 5.4.1.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1.2.1

Mova $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Etapa 5.4.1.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Etapa 5.4.1.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Etapa 5.4.1.4.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Etapa 5.4.1.4.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

Etapa 5.4.1.4.1.6

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Etapa 5.4.1.4.2

Subtraia $y x$ de $- x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.2.1

Mova $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

Etapa 5.4.1.4.2.2

Subtraia $x y$ de $- x y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Etapa 5.4.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.6.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.6.1.1

Mova $x^{2}$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.1.6.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.6.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.1.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.1.6.1.3

Some $2$ e $1$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.6.2.1

Mova $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.1.6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.1.7.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Etapa 5.4.2

Some $y$ aos dois lados da equação.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

Etapa 5.4.3

Divida cada termo em $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Divida cada termo em $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ por $x$ .

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.1.2.5

Divida $- 2 x^{2}$ por $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.2.1

Fatore $x$ de $4 x^{2} y$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.2.2.5

Divida $4 x y$ por $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Etapa 5.4.3.3.1.3.2

Divida $- 2 y^{2}$ por $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$