Cálculo Exemplos

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

Etapa 2.6

Reordene os termos.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

Etapa 3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Etapa 5.2.5

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

Etapa 5.3

Fatore.

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Etapa 5.3.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.3.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 5.3.1.1.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

Etapa 5.3.1.1.2

Reescreva $2$ como $- 3$ mais $5$

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

Etapa 5.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

Etapa 5.3.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

Etapa 5.3.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

Etapa 5.3.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y - 1$ .

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

Etapa 5.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ por $(y - 1) (3 y + 5)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ por $(y - 1) (3 y + 5)$ .

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $3 y + 5$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$