Cálculo Exemplos

$y e^{x} + x e^{y} = x^{2} + y^{2} + \ln (2)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y e^{x} + x e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} + \ln (2))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y e^{x} + x e^{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [y e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = e^{x}$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{y}$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1$

Etapa 2.3.5

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + \ln (2)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

Etapa 3.3

Como $\ln (2)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\ln (2)$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 2 y y' + 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Some $2 x + 2 y y'$ e $0$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y} = 2 y y' + 2 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y}$ .

$y e^{x} + y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} = 2 y y' + 2 x$

Etapa 5.2

Subtraia $2 y y'$ dos dois lados da equação.

$y e^{x} + y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} - 2 y y' = 2 x$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $y e^{x}$ dos dois lados da equação.

$y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $e^{y}$ dos dois lados da equação.

$y' e^{x} + x y' e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $y' e^{x} + x y' e^{y} - 2 y y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $y' e^{x}$ .

$y' (e^{x}) + x (y') e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $x y' e^{y}$ .

$y' (e^{x}) + y' (x e^{y}) - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (e^{x}) + y' (x e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (e^{x}) + y' (x e^{y})$ .

$y' (e^{x} + x e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (e^{x} + x e^{y}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$ por $e^{x} + x e^{y} - 2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$ por $e^{x} + x e^{y} - 2 y$ .

$\frac{y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y)}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x} + x e^{y} - 2 y$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y)}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Etapa 5.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Etapa 5.5.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x - y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Etapa 5.5.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x - y e^{x} - e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y e^{x} - e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$