Cálculo Exemplos

$x^{4} + y^{4} = 48 - x^{2} y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + y^{4}) = \frac{d}{d x} (48 - x^{2} y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + y^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 x^{3} + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x^{3} + 4 y^{3} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $48 - x^{2} y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [48] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.1.2

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$0 - (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 - (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 - (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 - (x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x))$

Etapa 3.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$0 - (2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Etapa 3.2.7

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$0 - (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x)$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 - (2 x^{2} y y') - (2 y^{2} x)$

Etapa 3.3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 (x^{2} y y') - (2 y^{2} x)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x^{2} y y' - 2 (y^{2} x)$

Etapa 3.3.2.3

Subtraia $- (- 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x)$ de $0$ .

$- 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 x^{3} + 4 y^{3} y' = - 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Some $2 x^{2} y y'$ aos dois lados da equação.

$4 x^{3} + 4 y^{3} y' + 2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Etapa 5.2

Subtraia $4 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$4 y^{3} y' + 2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x - 4 x^{3}$

Etapa 5.3

Fatore $2 y y'$ de $4 y^{3} y' + 2 x^{2} y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $2 y y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x - 4 x^{3}$

Etapa 5.3.2

Fatore $2 y y'$ de $2 x^{2} y y'$ .

$2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' x^{2} = - 2 y^{2} x - 4 x^{3}$

Etapa 5.3.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' (2 y^{2}) + 2 y y' x^{2}$ .

$2 y y' (2 y^{2} + x^{2}) = - 2 y^{2} x - 4 x^{3}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 y y' (2 y^{2} + x^{2}) = - 2 y^{2} x - 4 x^{3}$ por $2 y (2 y^{2} + x^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 y y' (2 y^{2} + x^{2}) = - 2 y^{2} x - 4 x^{3}$ por $2 y (2 y^{2} + x^{2})$ .

$\frac{2 y y' (2 y^{2} + x^{2})}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (2 y^{2} + x^{2})}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (2 y^{2} + x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (2 y^{2} + x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 y^{2} + x^{2})}{2 y^{2} + x^{2}} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $2 y^{2} + x^{2}$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y^{2} + x^{2})}{2 y^{2} + x^{2}} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y (2 y^{2} + x^{2})$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (y (2 y^{2} + x^{2}))} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (y (2 y^{2} + x^{2}))} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2} x}{y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- y x)}{y (2 y^{2} + x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y x}{2 y^{2} + x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.4.1

Fatore $2$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = - \frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 y (2 y^{2} + x^{2})$ .

$y' = - \frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (2 y^{2} + x^{2}))}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (2 y^{2} + x^{2}))}$

Etapa 5.4.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}} - \frac{2 x^{3}}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.2

Para escrever $- \frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2 x^{3}}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(2 y^{2} + x^{2}) y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.3.3.1

Multiplique $\frac{y x}{2 y^{2} + x^{2}}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{y x y}{(2 y^{2} + x^{2}) y} - \frac{2 x^{3}}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(2 y^{2} + x^{2}) y$ .

$y' = - \frac{y x y}{y (2 y^{2} + x^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y x y - 2 x^{3}}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.5.1

Fatore $x$ de $- y x y - 2 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.5.1.1

Fatore $x$ de $- y x y$ .

$y' = \frac{x (- y \cdot y) - 2 x^{3}}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.5.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- y \cdot y) + x (- 2 x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.5.1.3

Fatore $x$ de $x (- y \cdot y) + x (- 2 x^{2})$ .

$y' = \frac{x (- y \cdot y - 2 x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.5.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.5.2.1

Mova $y$ .

$y' = \frac{x (- (y \cdot y) - 2 x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.5.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = \frac{x (- y^{2} - 2 x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.6.1

Fatore $- 1$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (y^{2}) - 2 x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.6.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (y^{2}) - (2 x^{2}))}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- (y^{2}) - (2 x^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (y^{2} + 2 x^{2}))}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.6.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.6.4.1

Reescreva $- (y^{2} + 2 x^{2})$ como $- 1 (y^{2} + 2 x^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (y^{2} + 2 x^{2}))}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 5.4.3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x (y^{2} + 2 x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (y^{2} + 2 x^{2})}{y (2 y^{2} + x^{2})}$