Cálculo Exemplos

$\frac{x + 3}{y} = 4 x + y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 3}{y}) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{y \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y - (x + 3) y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + (- x - 1 \cdot 3) y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y - x y' - 1 \cdot 3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{y - x y' - 3 y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4.4

Reordene os termos.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 + 2 y y'$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$2 y y' + 4$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} = 2 y y' + 4$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$- x y' + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Reordene.

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Mova $x$ .

$- 1 y' x + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Mova $y$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = (2 y y' + 4) y^{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $(2 y y' + 4) y^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y y' y^{2} + 4 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Mova $y^{2}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y) y' + 4 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y^{1}) y' + 4 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{2 + 1} y' + 4 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{3} y' + 4 y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.3

Mova $y^{3}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $- 1 y'$ como $- y'$ .

$- y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2 y' y^{3}$ dos dois lados da equação.

$- y' x - 3 y' + y - 2 y' y^{3} = 4 y^{2}$

Etapa 5.3.3

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3}$ .

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Etapa 5.3.4.1

Fatore $y'$ de $- y' x$ .

$y' (- 1 x) - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Etapa 5.3.4.2

Fatore $y'$ de $- 3 y'$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Etapa 5.3.4.3

Fatore $y'$ de $- 2 y' y^{3}$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Etapa 5.3.4.4

Fatore $y'$ de $y' (- 1 x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Etapa 5.3.4.5

Fatore $y'$ de $y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (- 1 x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Etapa 5.3.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Etapa 5.3.6

Divida cada termo em $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ por $- x - 3 - 2 y^{3}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.6.1

Divida cada termo em $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ por $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.6.2.1

Cancele o fator comum de $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

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Etapa 5.3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.6.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{4 y^{2} - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.3.2

Fatore $y$ de $4 y^{2} - y$ .

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Etapa 5.3.6.3.2.1

Fatore $y$ de $4 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (4 y) - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.3.2.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (4 y) + y \cdot - 1}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.3.2.3

Fatore $y$ de $y (4 y) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.3.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 3 - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.3.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 1 (3) - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.3.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - 2 y^{3}}$

Etapa 5.3.6.3.6

Fatore $- 1$ de $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - (2 y^{3})}$

Etapa 5.3.6.3.7

Fatore $- 1$ de $- (x + 3) - (2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3 + 2 y^{3})}$

Etapa 5.3.6.3.8

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.3.8.1

Reescreva $- (x + 3 + 2 y^{3})$ como $- 1 (x + 3 + 2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- 1 (x + 3 + 2 y^{3})}$

Etapa 5.3.6.3.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$