Cálculo Exemplos

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.1.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 y')$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y' = x y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x \cos (y)$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.3

Subtraia $x y'$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y'$ .

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Etapa 5.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.4.1.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.4.1.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 - 4 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.4.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.4.1.2

Reordene os fatores em $- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y'$ .

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.5

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $y'$ de $- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y'$ .

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Etapa 5.5.1.1

Fatore $y'$ de $- x^{2} y' \sin (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.5.1.2

Fatore $y'$ de $2 y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.5.1.3

Fatore $y'$ de $- 4 y' \sin^{2} (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.5.1.4

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.5.1.5

Fatore $y'$ de $y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.5.1.6

Fatore $y'$ de $y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y))$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.5.1.7

Fatore $y'$ de $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ por $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ por $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Etapa 5.5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Etapa 5.5.2.3.3

Fatore $- 1$ de $- x^{2} \sin (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Etapa 5.5.2.3.4

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Etapa 5.5.2.3.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

Etapa 5.5.2.3.6

Fatore $- 1$ de $- 4 \sin^{2} (y)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y)) - x}$

Etapa 5.5.2.3.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y))$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - x}$

Etapa 5.5.2.3.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)}$

Etapa 5.5.2.3.9

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

Etapa 5.5.2.3.10

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.5.2.3.10.1

Reescreva $- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ como $- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ .

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

Etapa 5.5.2.3.10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$