Cálculo Exemplos

$x^{2} - y^{2} x - 2 = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2} x - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2} x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2} x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2} x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2} x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x$ .

$2 x - (y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - (y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x - (y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x - (y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y y')) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 x - (y^{2} + x (2 y y')) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 x - (y^{2} + 2 x y y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - (y^{2} + 2 x y y') + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - y^{2} - (2 x y y') + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x - y^{2} - 2 (x y y') + 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $2 x - y^{2} - 2 x y y'$ e $0$ .

$2 x - y^{2} - 2 x y y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$- y^{2} - 2 x y y' + 2 x$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- y^{2} - 2 x y y' + 2 x = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$- 2 x y y' + 2 x = y^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$- 2 x y y' = y^{2} - 2 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- 2 x y y' = y^{2} - 2 x$ por $- 2 x y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- 2 x y y' = y^{2} - 2 x$ por $- 2 x y$ .

$\frac{- 2 x y y'}{- 2 x y} = \frac{y^{2}}{- 2 x y} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x y y'}{- 2 x y} = \frac{y^{2}}{- 2 x y} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{y^{2}}{- 2 x y} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{y^{2}}{- 2 x y} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 x y} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 x y} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- 2 x y} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{- 2 x y} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x)} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x)} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{- 2 x} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{2 x} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y}{2 x} + \frac{- 2 x}{- 2 x y}$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y}{2 x} + \frac{x}{x y}$

Etapa 5.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y}{2 x} + \frac{x}{x y}$

Etapa 5.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y}{2 x} + \frac{1}{y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x} + \frac{1}{y}$