Cálculo Exemplos

$x^{2} - y^{3} = 5 x^{2} y - 2 x y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} y - 2 x y^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (3 y^{2} y')$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 x - 3 y^{2} y'$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$- 3 y^{2} y' + 2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} y - 2 x y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Etapa 3.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y^{3}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Etapa 3.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Etapa 3.3.7

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

Etapa 3.4.3

Combine os termos.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 (y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

Etapa 3.4.3.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x - 6 x y^{2} y' - 2 y^{3}$

Etapa 3.4.4

Reordene os termos.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 y^{2} y' + 2 x = - 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' = - 3 y^{2} y' + 2 x$

Etapa 5.2

Some $3 y^{2} y'$ aos dois lados da equação.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Some $2 y^{3}$ aos dois lados da equação.

$5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $10 x y$ dos dois lados da equação.

$5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $5 x^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- 6 y^{2} x y'$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x)$ .

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ por $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ por $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2})}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.3.4

Fatore $2$ de $2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ .

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Etapa 5.5.3.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.3.4.2

Fatore $2$ de $2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.3.4.3

Fatore $2$ de $- 10 x y$ .

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.3.4.4

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (y^{3})$ .

$y' = \frac{2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 5.5.3.4.5

Fatore $2$ de $2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)$ .

$y' = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$