Cálculo Exemplos

$e^{y} = x^{3} \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{y} y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.2.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Etapa 3.3.4

Reordene os termos.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Etapa 5

Divida cada termo em $e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ por $e^{y}$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ por $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique $3 \ln (x)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$