Cálculo Exemplos

$\sqrt{y} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 x$

Etapa 1

Reescreva o lado esquerdo com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 x$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} = 2 x$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.9

Combine $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.2.10

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique $y^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y')}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.13

Combine $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.14

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{0 - \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.15

Subtraia $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.16

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.16.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.16.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.16.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.16.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y^{1}}$

Etapa 3.3.17

Simplifique.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y}$

Etapa 3.3.18

Reescreva $\frac{- \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{y}$ como um produto.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 3.3.19

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{y (2 y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 3.3.20

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 (y^{1} y^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 3.3.21

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.22

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 3.3.24

Some $2$ e $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 6.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$

Etapa 6.1.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{2}}$ .

Etapa 6.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 6.1.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 6.1.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 6.1.6

O MMC de $2, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 6.1.7

O MMC de $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{2}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.1.8

O MMC de $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 y^{\frac{3}{2}}, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 y^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.2

Multiplique cada termo em $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$ por $2 y^{\frac{3}{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} = 2$ por $2 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.2.1.3.1

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}) - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y' y^{\frac{2}{2}} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$y' y^{1} - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.5

Simplifique.

$y' y - \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $2 y^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 6.2.2.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y'}{2 y^{\frac{3}{2}}}$ para o numerador.

$y' y + \frac{- y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$y' y + \frac{- y'}{2 y^{\frac{3}{2}}} (2 y^{\frac{3}{2}}) = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$y' y - y' = 2 (2 y^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y' y - y' = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.3

Resolva a equação.

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Etapa 6.3.1

Fatore $y'$ de $y' y - y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Fatore $y'$ de $y' y$ .

$y' (y) - y' = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (y) + y' \cdot - 1 = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Fatore $y'$ de $y' (y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Etapa 6.3.2

Divida cada termo em $y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$ por $y - 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.2.1

Divida cada termo em $y' (y - 1) = 4 y^{\frac{3}{2}}$ por $y - 1$ .

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{3}{2}}}{y - 1}$