Cálculo Exemplos

$\frac{x}{y} = \frac{1}{9}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$\frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{9}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{- x y' + y}{y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Defina o numerador como igual a zero.

$- x y' + y = 0$

Etapa 5.2

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$- x y' = - y$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $- x y' = - y$ por $- x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $- x y' = - y$ por $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{- x}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$