Cálculo Exemplos

$7^{x + y} = y^{\ln (7)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (7^{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{\ln (7)})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 7^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$7^{x + y} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$7^{x + y} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$

Etapa 2.4

Reordene os fatores de $7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$ .

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\ln (7)}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\ln (7)}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \ln (7)$ .

$\ln (7) u^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$ .

$y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + 7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(7^{x + y} \cdot 1 + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Etapa 5.1.4

Multiplique $7^{x + y}$ por $1$ .

$(7^{x + y} + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Etapa 5.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Etapa 5.1.6

Reordene os fatores em $7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7)$ .

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$ .

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$

Etapa 5.3

Subtraia $\ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ dos dois lados da equação.

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = 0$

Etapa 5.4

Subtraia $\ln (7) \cdot 7^{x + y}$ dos dois lados da equação.

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Etapa 5.5

Fatore $y' \ln (7)$ de $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $y' \ln (7)$ de $- \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ .

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Etapa 5.5.2

Fatore $y' \ln (7)$ de $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1})$ .

$y' \ln (7) (7^{x + y} - 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1 y^{\ln (7) - 1}$ como $- y^{\ln (7) - 1}$ .

$y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Etapa 5.7

Divida cada termo em $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ por $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ e simplifique.

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Etapa 5.7.1

Divida cada termo em $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ por $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ .

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (7)$ .

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Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Etapa 5.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Etapa 5.7.2.2

Cancele o fator comum de $7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}$ .

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Etapa 5.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Etapa 5.7.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Etapa 5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (7)$ .

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Etapa 5.7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Etapa 5.7.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 1 \cdot 7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Etapa 5.7.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$