Cálculo Exemplos

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x + y$ e $g (x) = x - 5 y$ .

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.7

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.2.1.1

Expanda $(x - 5 y) (2 + y')$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.8.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.2.1.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4

Expanda $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.8.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.2.1.5.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.5.2

Multiplique $- 5$ por $- 2$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.1.5.4

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.2

Combine os termos opostos em $2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ .

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Etapa 2.8.2.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.2.2

Some $x y' - 10 y - 5 y y'$ e $0$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.2.3

Some $- 5 y y'$ e $5 y y'$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.2.4

Some $x y' - 10 y + 10 x y' - y$ e $0$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.3

Some $x y'$ e $10 x y'$ .

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.2.4

Subtraia $y$ de $- 10 y$ .

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.3

Fatore $11$ de $11 x y' - 11 y$ .

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Etapa 2.8.3.1

Fatore $11$ de $11 x y'$ .

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.3.2

Fatore $11$ de $- 11 y$ .

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 2.8.3.3

Fatore $11$ de $11 (x y') + 11 (- y)$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Defina o numerador como igual a zero.

$11 (x y' - y) = 0$

Etapa 5.2

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $11 (x y' - y) = 0$ por $11$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1.1

Divida cada termo em $11 (x y' - y) = 0$ por $11$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 5.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Divida $x y' - y$ por $1$ .

$x y' - y = \frac{0}{11}$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1.3.1

Divida $0$ por $11$ .

$x y' - y = 0$

Etapa 5.2.2

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x y' = y$

Etapa 5.2.3

Divida cada termo em $x y' = y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.3.1

Divida cada termo em $x y' = y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$