Cálculo Exemplos

$e^{\cos (y)} = x^{9} \arctan (y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d c} (e^{\cos (y)}) = \frac{d}{d c} (x^{9} \arctan (y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ é $f' (g (c)) g' (c)$ , em que $f (c) = e^{c}$ e $g (c) = \cos (y)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (y)$ .

$e^{\cos (y)} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ é $f' (g (c)) g' (c)$ , em que $f (c) = \cos (c)$ e $g (c) = y$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$e^{\cos (y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d c} [y])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d c} [y])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) \frac{d}{d c} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d c} [y]$ como $y'$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$

Etapa 2.4

Reordene os fatores de $e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $x^{9}$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $x^{9} \arctan (y)$ em relação a $c$ é $x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$ .

$x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ é $f' (g (c)) g' (c)$ , em que $f (c) = \arctan (c)$ e $g (c) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d c} [y])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{1 + y^{2}}$ e $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d c} [y]$ como $y'$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} y'$

Etapa 3.5

Combine $\frac{x^{9}}{1 + y^{2}}$ e $y'$ .

$\frac{x^{9} y'}{1 + y^{2}}$

Etapa 3.6

Reordene os termos.

$\frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $y^{2} + 1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1)$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' \cdot 1 = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Etapa 5.2.1.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reordene os fatores em $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y'$ .

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = x^{9} y'$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $x^{9} y'$ dos dois lados da equação.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y'$ .

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y'$ de $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Etapa 5.3.2.2

Fatore $y'$ de $- y' e^{\cos (y)} \sin (y)$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) - x^{9} y' = 0$

Etapa 5.3.2.3

Fatore $y'$ de $- x^{9} y'$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Etapa 5.3.2.4

Fatore $y'$ de $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y))$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Etapa 5.3.2.5

Fatore $y'$ de $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9})$ .

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Etapa 5.3.3

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Etapa 5.3.4

Reescreva $- 1 e^{\cos (y)}$ como $- e^{\cos (y)}$ .

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Etapa 5.3.5

Divida cada termo em $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ por $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ e simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Divida cada termo em $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ por $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$\frac{y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9})}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}} = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

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Etapa 5.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Etapa 5.3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.5.3.1

Divida $0$ por $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$y' = 0$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d c}$ .

$\frac{d y}{d c} = 0$