Cálculo Exemplos

$y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 8}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{r^{2} + 8}$ como ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d r} (y) = \frac{d}{d r} (\frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $r$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ é $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , em que $f (r) = r$ e $g (r) = {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{1}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.4.2

Multiplique ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ é $f' (g (r)) g' (r)$ , em que $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ e $g (r) = r^{2} + 8$ .

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Etapa 4.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $r^{2} + 8$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r^{2} + 8$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.10

Combine frações.

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Etapa 4.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.10.3

Mova ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.10.4

Combine $\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ e $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8]}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $r^{2} + 8$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8]$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.13

Como $8$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $8$ em relação a $r$ é $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.14

Combine frações.

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Etapa 4.14.1

Some $2 r$ e $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.14.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.14.3

Combine $- 2$ e $\frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.14.4

Combine $\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ e $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.15

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.16

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.18

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.19

Fatore $2$ de $- 2 r^{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.20.1

Fatore $2$ de $2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.20.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.20.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.22

Para escrever ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.24

Multiplique ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.24.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.24.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.24.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.24.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.25

Simplifique ${(r^{2} + 8)}^{1}$ .

$\frac{\frac{r^{2} + 8 - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.26

Subtraia $r^{2}$ de $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.27

Some $0$ e $8$ .

$\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.28

Reescreva $\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$ como um produto.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 8}$

Etapa 4.29

Multiplique $\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{r^{2} + 8}$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 8)}$

Etapa 4.30

Multiplique ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por $r^{2} + 8$ somando os expoentes.

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Etapa 4.30.1

Multiplique ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ por $r^{2} + 8$ .

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Etapa 4.30.1.1

Eleve $r^{2} + 8$ à potência de $1$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{1}}$

Etapa 4.30.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 4.30.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 4.30.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 4.30.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d r}$ .

$\frac{d y}{d r} = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$