Cálculo Exemplos

$y = {(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$

Etapa 1

Multiplique os expoentes em ${(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{\cos (\frac{t}{7}) \cdot 4}$

Etapa 1.2

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (\frac{t}{7})$ .

$y = e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{4 \cos (\frac{t}{7})})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 4 \cos (\frac{t}{7})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 \cos (\frac{t}{7})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 \cos (\frac{t}{7})$ .

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 \cos (\frac{t}{7})$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$ .

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})])$

Etapa 4.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ .

$4 \cdot e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = \frac{t}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{t}{7}$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Etapa 4.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{t}{7}$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Etapa 4.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Etapa 4.4.2

Como $\frac{1}{7}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{t}{7}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) (\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.4.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.3.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $- 4$ .

$\frac{- 4}{7} e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.3.2

Combine $\frac{- 4}{7}$ e $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ .

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.3.3

Combine $\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7}$ e $\sin (\frac{t}{7})$ .

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \cdot 1$

Etapa 4.4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$