Cálculo Exemplos

$y = e^{\cos^{2} (π t - 9)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{\cos^{2} (π t - 9)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = \cos^{2} (π t - 9)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos^{2} (π t - 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos^{2} (π t - 9)$ .

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \cos (π t - 9)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (π t - 9)$ .

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (π t - 9)$ .

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (2 \cos (π t - 9) \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{\cos^{2} (π t - 9)}$ .

$2 \cdot e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = π t - 9$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $π t - 9$ .

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [π t - 9])$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $π t - 9$ .

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (- \sin (π t - 9) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (\sin (π t - 9) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

Etapa 3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $π t - 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Etapa 3.5.3

Como $π$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $π t$ em relação a $t$ é $π \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Etapa 3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

Etapa 3.5.5

Multiplique $π$ por $1$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π + \frac{d}{d t} [- 9])$

Etapa 3.5.6

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π + 0)$

Etapa 3.5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.7.1

Some $π$ e $0$ .

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) π$

Etapa 3.5.7.2

Reordene os fatores de $- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) π$ .

$- 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$