Cálculo Exemplos

$y = \cot^{2} (\cos^{4} (t))$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cot^{2} (\cos^{4} (t)))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \cot (\cos^{4} (t))$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cot (t)$ e $g (t) = \cos^{4} (t)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cot (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) (\csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = \cos (t)$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 \cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Etapa 3.5

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Etapa 3.6

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) (- \sin (t))$

Etapa 3.7

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Reordene os fatores de $8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$ .

$8 \cos^{3} (t) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Etapa 3.8.2

Reescreva $\csc (\cos^{4} (t))$ em termos de senos e cossenos.

$8 \cos^{3} (t) {(\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))})}^{2} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Etapa 3.8.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))}$ .

$8 \cos^{3} (t) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Etapa 3.8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Etapa 3.8.5

Multiplique $8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ .

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Etapa 3.8.5.1

Combine $\frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ e $8$ .

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cos^{3} (t) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Etapa 3.8.5.2

Combine $\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ e $\cos^{3} (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Etapa 3.8.6

Reescreva $\cot (\cos^{4} (t))$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cdot \frac{\cos (\cos^{4} (t))}{\sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Etapa 3.8.7

Combine.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Etapa 3.8.8

Multiplique $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ por $\sin (\cos^{4} (t))$ somando os expoentes.

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Etapa 3.8.8.1

Multiplique $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ por $\sin (\cos^{4} (t))$ .

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Etapa 3.8.8.1.1

Eleve $\sin (\cos^{4} (t))$ à potência de $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin^{1} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Etapa 3.8.8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{{\sin (\cos^{4} (t))}^{2 + 1}} \sin (t)$

Etapa 3.8.8.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Etapa 3.8.9

Combine $\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ e $\sin (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Etapa 3.8.10

Multiplique por $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Etapa 3.8.11

Multiplique por $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t)) \cdot 1}$

Etapa 3.8.12

Separe as frações.

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} \cdot \frac{\cos^{3} (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Etapa 3.8.13

Converta de $\frac{1}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ em $\csc^{3} (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

Etapa 3.8.14

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

Etapa 3.8.15

Divida $8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)$ por $1$ .

$8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$