Cálculo Exemplos

$y = arccot (\sqrt{t})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arccot (t^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccot (t^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = arccot (t)$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $arccot (u)$ em relação a $u$ é $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1 + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{1 + t^{1}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Simplifique.

$- \frac{1}{1 + t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 4.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{1 + t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + t} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.11

Multiplique $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{1 + t}$ .

$- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 (1 + t)}$

Etapa 4.12

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + t) t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13

Simplifique.

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Etapa 4.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 t^{\frac{1}{2}} + 2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13.3

Combine os termos.

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Etapa 4.13.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13.3.2

Multiplique $t$ por $t^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.13.3.2.1

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (t^{\frac{1}{2}} t)}$

Etapa 4.13.3.2.2

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Etapa 4.13.3.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}$

Etapa 4.13.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 4.13.3.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 4.13.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 4.13.3.2.5

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.13.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.13.4.1

Fatore $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 t^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.13.4.1.1

Fatore $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.13.4.1.2

Fatore $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 4.13.4.1.3

Fatore $2 t^{\frac{1}{2}}$ de $2 t^{\frac{1}{2}} (1) + 2 t^{\frac{1}{2}} (t^{\frac{2}{2}})$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 4.13.4.2

Divida $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{1})}$

Etapa 4.13.4.3

Simplifique.

$- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} (1 + t)}$