Cálculo Exemplos

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + \sqrt{t}})$

Etapa 1

Reescreva o lado direito com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}}$ como ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $t$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$4 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.9

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.10

Mova ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.11

Combine $\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ e $4$ .

$\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.12

Combine $\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ e $\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.13

Fatore $2$ de $4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.14.1

Fatore $2$ de $2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.15

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.16

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.17

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4.19

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.20

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.22

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.22.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 4.22.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 4.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 4.24

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.25

Multiplique $\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 4.26

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.26.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.2

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.27

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.29

Reordene os termos.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$