Cálculo Exemplos

$y = e^{- u} \cos (u)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d u} (y) = \frac{d}{d u} (e^{- u} \cos (u))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $u$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ é $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ , em que $f (u) = e^{- u}$ e $g (u) = \cos (u)$ .

$e^{- u} \frac{d}{d u} [\cos (u)] + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) \frac{d}{d u} [e^{- u}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ é $f' (g (u)) g' (u)$ , em que $f (u) = e^{u}$ e $g (u) = - u$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- u$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [- u])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [- u])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- u$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $u$ , a derivada de $- u$ em relação a $u$ é $- \frac{d}{d u} [u]$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 3.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (e^{- u} \cdot - 1)$

Etapa 3.4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- u}$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- 1 \cdot e^{- u})$

Etapa 3.4.3.3

Reescreva $- 1 e^{- u}$ como $- e^{- u}$ .

$e^{- u} (- \sin (u)) + \cos (u) (- e^{- u})$

Etapa 3.4.3.4

Reordene os termos.

$- e^{- u} \sin (u) - e^{- u} \cos (u)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - e^{- u} \sin (u) - e^{- u} \cos (u)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d u}$ .

$\frac{d y}{d u} = - e^{- u} \sin (u) - e^{- u} \cos (u)$