Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{3 x^{3}}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = 1$ e $g (y) = x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x])}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $x^{3}$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - (3 x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 - 3 (x^{2} x')}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.9

Subtraia $3 x^{2} x'$ de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.10

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.10.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.10.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2} x'}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.11

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{6}$ .

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Etapa 3.2.11.1

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{2} x'$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{6}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.11.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2} (- 3 x')}{x^{2} x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (- \frac{3 x'}{x^{4}}) + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.13

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{3 x'}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.14

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.14.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 x'}{3 x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.2.14.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x^{7}}{10}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} \frac{d}{d y} [x^{7}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{7}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6} x')$

Etapa 3.3.4

Combine $7$ e $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7}{10} (x^{6} x')$

Etapa 3.3.5

Combine $x^{6}$ e $\frac{7}{10}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7}{10} x'$

Etapa 3.3.6

Combine $\frac{x^{6} \cdot 7}{10}$ e $x'$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{x^{6} \cdot 7 x'}{10}$

Etapa 3.3.7

Mova $7$ para a esquerda de $x^{6}$ .

$- \frac{x'}{x^{4}} + \frac{7 x^{6} x'}{10}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$10, x^{4}, 1$

Etapa 5.2.2

Como $10, x^{4}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $10, x^{4}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $10, x^{4}, 1$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

$10$ tem fatores de $2$ e $5$ .

$2 \cdot 5$

Etapa 5.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.6

O MMC de $10, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 5$

Etapa 5.2.7

Multiplique $2$ por $5$ .

$10$

Etapa 5.2.8

Os fatores para $x^{4}$ são $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $4$ vezes.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $4$ vezes.

Etapa 5.2.9

O MMC de $x^{4}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Etapa 5.2.10

Simplifique $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Etapa 5.2.10.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Etapa 5.2.10.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.10.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.2.10.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Etapa 5.2.10.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Etapa 5.2.10.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Etapa 5.2.10.3

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.10.3.1

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Etapa 5.2.10.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3 + 1}$

Etapa 5.2.10.3.2

Some $3$ e $1$ .

$x^{4}$

Etapa 5.2.11

O MMC de $10, x^{4}, 1$ é a parte numérica $10$ multiplicada pela parte variável.

$10 x^{4}$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ por $10 x^{4}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{7 x^{6} x'}{10} - \frac{x'}{x^{4}} = 1$ por $10 x^{4}$ .

$\frac{7 x^{6} x'}{10} (10 x^{4}) - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$10 \frac{7 x^{6} x'}{10} x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$7 x^{6} x' x^{4} - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique $x^{6}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Mova $x^{4}$ .

$7 (x^{4} x^{6}) x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$7 x^{4 + 6} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Some $4$ e $6$ .

$7 x^{10} x' - \frac{x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x'}{x^{4}}$ para o numerador.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (10 x^{4}) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.4.2

Fatore $x^{4}$ de $10 x^{4}$ .

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$7 x^{10} x' + \frac{- x'}{x^{4}} (x^{4} \cdot 10) = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$7 x^{10} x' - x' \cdot 10 = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.2.1.5

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 1 (10 x^{4})$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $10 x^{4}$ por $1$ .

$7 x^{10} x' - 10 x' = 10 x^{4}$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

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Etapa 5.4.1

Fatore $x'$ de $7 x^{10} x' - 10 x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Fatore $x'$ de $7 x^{10} x'$ .

$x' (7 x^{10}) - 10 x' = 10 x^{4}$

Etapa 5.4.1.2

Fatore $x'$ de $- 10 x'$ .

$x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10 = 10 x^{4}$

Etapa 5.4.1.3

Fatore $x'$ de $x' (7 x^{10}) + x' \cdot - 10$ .

$x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ por $7 x^{10} - 10$ e simplifique.

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Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $x' (7 x^{10} - 10) = 10 x^{4}$ por $7 x^{10} - 10$ .

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $7 x^{10} - 10$ .

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Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (7 x^{10} - 10)}{7 x^{10} - 10} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{10 x^{4}}{7 x^{10} - 10}$