Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x^{2} - 5 x}{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 5 x}{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{2} - 5 x$ .

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Etapa 3.1.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) - 5 x}{3}]$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x) + x \cdot - 5}{3}]$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $x$ de $x (2 x) + x \cdot - 5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (2 x - 5)}{3}]$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x (2 x - 5)}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x (2 x - 5)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 2 x - 5$ .

$\frac{1}{3} (x \frac{d}{d x} [2 x - 5] + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{3} (x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} (x (2 + 0) + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (x \cdot 2 + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot x + (2 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + (2 x - 5) \cdot 1)$

Etapa 3.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.8.1

Multiplique $2 x - 5$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (2 x + 2 x - 5)$

Etapa 3.3.8.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{1}{3} (4 x - 5)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} (4 x) + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Etapa 3.4.2.2

Combine $\frac{4}{3}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 5$

Etapa 3.4.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 5$ .

$\frac{4 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Etapa 3.4.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3} - \frac{5}{3}$