Cálculo Exemplos

$y = \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - \cos (x)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) - (1 - \cos (x)) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) + 1 (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $1 - \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 1 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.3.1

Combine os termos opostos em $1 \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + 1 \sin (x) - \cos (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.7.3.1.1

Subtraia $\cos (x) \sin (x)$ de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 \sin (x) + 0 + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.7.3.1.2

Some $1 \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{1 \sin (x) + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.7.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.3.2.1

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + 1 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.7.3.2.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 3.7.3.3

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$