Cálculo Exemplos

$y = 3^{x} x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3^{x} x^{3})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

$3^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3^{x} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 3.3

Multiplique $3^{x}$ por $3$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1

Mova $3$ .

$3 \cdot 3^{x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 3.3.2

Multiplique $3$ por $3^{x}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{1 + x} x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$3^{1 + x} x^{2} + x^{3} (3^{x} \ln (3))$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os termos.

$3^{1 + x} x^{2} + 3^{x} x^{3} \ln (3)$

Etapa 3.5.2

Reordene os fatores em $3^{1 + x} x^{2} + 3^{x} x^{3} \ln (3)$ .

$x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot 3^{x} \ln (3)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot (3^{x} \ln (3))$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 3^{1 + x} + x^{3} \cdot (3^{x} \ln (3))$