Cálculo Exemplos

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x - 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$u_{lower} = - 2 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $3^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $3^{u}$ com relação a $u$ é $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ .

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ em $1$ e em $- 3$ .

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

Etapa 6.2.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

Etapa 6.2.4

Reescreva $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ como um produto.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

Etapa 6.2.5

Multiplique $\frac{1}{27}$ por $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Etapa 6.2.6

Multiplique $\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ por $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ .

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

Etapa 6.2.7

Combine.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.9

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 6.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.10

Combine $\ln (3)$ e $\frac{1}{27 \ln (3)}$ .

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.11

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 6.2.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.12

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.13

Combine $3$ e $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.15.1

Multiplique $3$ por $27$ .

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.15.2

Subtraia $1$ de $81$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

Etapa 6.2.16

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (3)$ .

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

Etapa 6.2.17

Reescreva $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ como um produto.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

Etapa 6.2.18

Multiplique $\frac{80}{27}$ por $\frac{1}{2 \ln (3)}$ .

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

Etapa 6.2.19

Multiplique $2$ por $27$ .

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

Etapa 6.2.20

Cancele o fator comum de $80$ e $54$ .

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Etapa 6.2.20.1

Fatore $2$ de $80$ .

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

Etapa 6.2.20.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.20.2.1

Fatore $2$ de $54 \ln (3)$ .

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

Etapa 6.2.20.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

Etapa 6.2.20.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

Forma decimal:

$1.34850255 \dots$

Etapa 8