Cálculo Exemplos

$y = \frac{8 x}{3 - \tan (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 x}{3 - \tan (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8 x}{3 - \tan (x)}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \tan (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 - \tan (x)}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 3 - \tan (x)$ .

$8 \frac{(3 - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \frac{(3 - \tan (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $3 - \tan (x)$ por $1$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [3 - \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) - x (- \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.7

Multiplique.

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Etapa 3.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) + x \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$8 \frac{3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Combine $8$ e $\frac{3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$ .

$\frac{8 (3 - \tan (x) + x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 \cdot 3 + 8 (- \tan (x)) + 8 (x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{24 + 8 (- \tan (x)) + 8 (x \sec^{2} (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{24 - 8 \tan (x) + 8 x \sec^{2} (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Reordene os termos.

$\frac{8 x \sec^{2} (x) + 24 - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Fatore $8$ de $8 x \sec^{2} (x) + 24 - 8 \tan (x)$ .

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Etapa 3.6.4.1

Fatore $8$ de $8 x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 24 - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.4.2

Fatore $8$ de $24$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3) - 8 \tan (x)}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.4.3

Fatore $8$ de $- 8 \tan (x)$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3) + 8 (- \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.4.4

Fatore $8$ de $8 (x \sec^{2} (x)) + 8 (3)$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3) + 8 (- \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.4.5

Fatore $8$ de $8 (x \sec^{2} (x) + 3) + 8 (- \tan (x))$ .

$\frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 (x \sec^{2} (x) + 3 - \tan (x))}{{(3 - \tan (x))}^{2}}$