Cálculo Exemplos

$y = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Multiplique.

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Etapa 3.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.9.2.1.1

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.2.1.2

Multiplique $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 3.9.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.2.1.2.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.2.1.2.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.2.1.2.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.2.1.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.2.1.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.2.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \sin (x) + 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.3

Cancele o fator comum de $- \sin (x) + 1$ e ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 3.9.3.1

Reordene os termos.

$\frac{1 - \sin (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.3.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.9.3.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.9.3.3.1

Fatore $1 - \sin (x)$ de ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.9.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.9.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - \sin (x)}$