Cálculo Exemplos

$y = \frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5}{\cos (x)} + \frac{1}{\tan (x)}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{\cos (x)}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{\cos (x)}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{\cos (x)}$ como $\cos^{- 1} (x)$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.2.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$5 (- \cos^{- 2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$5 (1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $\cos^{- 2} (x)$ por $1$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Etapa 3.3.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]$

Etapa 3.3.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Etapa 3.3.4

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$5 \cos^{- 2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4.2

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$5 \sec^{2} (x) \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.3.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4.3.4

Combine $5$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \sin (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4.3.5

Combine $\frac{5}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \csc^{2} (x)$

Etapa 3.4.3.6

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 3.4.3.7

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.4.2

Separe as frações.

$\frac{5}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.4.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.4.4

Separe as frações.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.4.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{5}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.4.6

Divida $5$ por $1$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.4.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4.4.8

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 3.4.4.9

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \sec (x) \tan (x) - \csc^{2} (x)$