Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{e^{x}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1.1

Reescreva $\frac{1}{e^{x}}$ como ${(e^{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{x})}^{- 1}]$

Etapa 3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x \cdot - 1}]$

Etapa 3.1.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 1 \cdot x}]$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 3.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 3.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- e^{- x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - e^{- x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - e^{- x}$