Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 - 2 x}$ como ${(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 4.1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 4.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 - 2 x$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - 2 x$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} {(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.7.2

Combine ${(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(3 - 2 x)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 4.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 4.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 4.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.12

Simplifique os termos.

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Etapa 4.12.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 \frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.12.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.12.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 {(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.12.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Etapa 4.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.14.1

Multiplique $\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{{(3 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.14.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(- 2 x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$