Cálculo Exemplos

$y = {(x - \ln (x))}^{7}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - \ln (x))}^{7})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x - \ln (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - \ln (x)$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{d}{d x} [x - \ln (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Etapa 3.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} (1 - \frac{1}{x})$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} \cdot 1 + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.4.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.4.3

Multiplique $7 {(x - \ln (x))}^{6} (- \frac{1}{x})$ .

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - 7 {(x - \ln (x))}^{6} \frac{1}{x}$

Etapa 3.4.3.2

Combine $\frac{1}{x}$ e $- 7$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7}{x} {(x - \ln (x))}^{6}$

Etapa 3.4.3.3

Combine $\frac{- 7}{x}$ e ${(x - \ln (x))}^{6}$ .

$7 {(x - \ln (x))}^{6} + \frac{- 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Etapa 3.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$7 {(x - \ln (x))}^{6} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Etapa 3.4.5

Para escrever $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x}{x} - \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Etapa 3.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Etapa 3.4.7

Fatore $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ de $7 {(x - \ln (x))}^{6} x - 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

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Etapa 3.4.7.1

Fatore $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ de $7 {(x - \ln (x))}^{6} x$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) - 7 {(x - \ln (x))}^{6}}{x}$

Etapa 3.4.7.2

Fatore $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ de $- 7 {(x - \ln (x))}^{6}$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)}{x}$

Etapa 3.4.7.3

Fatore $7 {(x - \ln (x))}^{6}$ de $7 {(x - \ln (x))}^{6} (x) + 7 {(x - \ln (x))}^{6} (- 1)$ .

$\frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 {(x - \ln (x))}^{6} (x - 1)}{x}$