Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{y}}{1 + \sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{y}}{1 + \sin (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{y}$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [e^{y}] - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(1 e^{y} + \sin (x) e^{y}) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.3.1

Multiplique $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3.6.3.2

Reordene os fatores em $e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)$ .

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.2.1.2

Reordene os fatores em $e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$ .

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique $y' {(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.1

Reescreva.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = 0 + 0 + y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

Etapa 5.3.2.2

Reescreva ${(1 + \sin (x))}^{2}$ como $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))$

Etapa 5.3.2.3

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

Etapa 5.3.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

Etapa 5.3.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

Etapa 5.3.2.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.4.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

Etapa 5.3.2.4.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

Etapa 5.3.2.4.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x))$

Etapa 5.3.2.4.1.4

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 5.3.2.4.1.4.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x))$

Etapa 5.3.2.4.1.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Etapa 5.3.2.4.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1})$

Etapa 5.3.2.4.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x))$

Etapa 5.3.2.4.2

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x))$

Etapa 5.3.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

Etapa 5.3.2.6

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.6.1

Multiplique $y'$ por $1$ .

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

Etapa 5.3.2.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x)$

Etapa 5.3.3

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.4

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $y' e^{y}$ dos dois lados da equação.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} = y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.4.2

Subtraia $y' e^{y} \sin (x)$ dos dois lados da equação.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5

Fatore $y'$ de $y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x)$ .

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Etapa 5.3.5.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5.2

Fatore $y'$ de $2 y' \sin (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5.3

Fatore $y'$ de $y' \sin^{2} (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5.4

Fatore $y'$ de $- y' e^{y}$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5.5

Fatore $y'$ de $- y' e^{y} \sin (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5.6

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x))$ .

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5.7

Fatore $y'$ de $y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' \sin^{2} (x)$ .

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5.8

Fatore $y'$ de $y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y})$ .

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.5.9

Fatore $y'$ de $y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x))$ .

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.6

Reescreva $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.7

Reescreva $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

Etapa 5.3.8

Divida cada termo em $y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ por $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.8.1

Divida cada termo em $y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ por $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ .

$\frac{y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x))}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)} = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

Etapa 5.3.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.8.2.1

Cancele o fator comum de $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ .

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Etapa 5.3.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.3.8.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

Etapa 5.3.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$