Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.4.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.10

Combine frações.

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Etapa 4.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.10.3

Mova ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.10.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.14

Combine frações.

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Etapa 4.14.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.14.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - 2 \frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.14.3

Combine $- 2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.14.4

Combine $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.17

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- 2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.18

Fatore $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.19.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{3})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{- x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.21

Combine $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ e $- \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ usando um denominador comum.

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Etapa 4.21.1

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.21.2

Para escrever $2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.21.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.22

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.22.1

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.22.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.22.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{1} - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.23

Simplifique $2 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.24

Reescreva $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ como um produto.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 4.25

Multiplique $\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Etapa 4.26

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ somando os expoentes.

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Etapa 4.26.1

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.26.1.1

Eleve $x^{2} + 1$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 4.26.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 4.26.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 4.26.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 4.26.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1) - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27

Simplifique.

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Etapa 4.27.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.27.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.27.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.27.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.27.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x \cdot 1 - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x - x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.2.2

Subtraia $x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.3

Fatore $x$ de $x^{3} + 2 x$ .

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Etapa 4.27.3.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.3.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.27.3.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$