Cálculo Exemplos

$y = \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x + 5)}^{3}$ e $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{({(x - 3)}^{3})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 3)}^{3})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{3} (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(x - 3)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5] - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.4.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} (1 + 0) - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} \cdot 1 - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}]}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - {(x + 5)}^{3} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.6.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} ({(x - 3)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.6.5.2

Multiplique ${(x - 3)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Fatore $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2} - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}$ .

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Etapa 3.7.1.1.1

Fatore $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{3} {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) - 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.1.1.2

Fatore $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ de $- 3 {(x + 5)}^{3} {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) + 3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- (x + 5))}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.1.1.3

Fatore $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ de $3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3) + 3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- (x + 5))$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - (x + 5))}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - x - 1 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (x - 3 - x - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.1.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (0 - 3 - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.1.5

Subtraia $3$ de $0$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} (- 3 - 5)}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.1.6

Subtraia $5$ de $- 3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.1.7

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$\frac{- 24 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.2

Combine os termos.

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Etapa 3.7.2.1

Cancele o fator comum de ${(x - 3)}^{2}$ e ${(x - 3)}^{6}$ .

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Etapa 3.7.2.1.1

Fatore ${(x - 3)}^{2}$ de $- 24 {(x - 3)}^{2} {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{6}}$

Etapa 3.7.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.2.1.2.1

Fatore ${(x - 3)}^{2}$ de ${(x - 3)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.7.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (- 24 {(x + 5)}^{2})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.7.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{24 {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$