Cálculo Exemplos

$y = {(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(8 + x^{5})}^{4} - {(6 + x^{7})}^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(8 + x^{5})}^{4}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 8 + x^{5}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $8 + x^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 + x^{5}$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} \frac{d}{d x} [8 + x^{5}] + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 + x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.2.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (0 + 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.2.5

Some $0$ e $5 x^{4}$ .

$4 {(8 + x^{5})}^{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $5$ por $4$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- {(6 + x^{7})}^{5}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(6 + x^{7})}^{5}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(6 + x^{7})}^{5}]$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - \frac{d}{d x} [{(6 + x^{7})}^{5}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 6 + x^{7}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $6 + x^{7}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 + x^{7}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} \frac{d}{d x} [6 + x^{7}])$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + x^{7}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x^{7}]))$

Etapa 3.3.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [x^{7}]))$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (0 + 7 x^{6}))$

Etapa 3.3.6

Some $0$ e $7 x^{6}$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (5 {(6 + x^{7})}^{4} (7 x^{6}))$

Etapa 3.3.7

Multiplique $7$ por $5$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - (35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $35$ por $- 1$ .

$20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$

Etapa 3.4

Fatore $5 x^{4}$ de $20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4} - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $5 x^{4}$ de $20 {(8 + x^{5})}^{3} x^{4}$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) - 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$

Etapa 3.4.2

Fatore $5 x^{4}$ de $- 35 {(6 + x^{7})}^{4} x^{6}$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) + 5 x^{4} (- 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

Etapa 3.4.3

Fatore $5 x^{4}$ de $5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3}) + 5 x^{4} (- 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$ .

$5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} (4 {(8 + x^{5})}^{3} - 7 {(6 + x^{7})}^{4} x^{2})$