Cálculo Exemplos

$\ln (x y) = x + y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2

Combine os termos.

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Etapa 2.6.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2.2

Combine $\frac{x}{x y}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Etapa 2.6.2.4

Combine $\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Etapa 2.6.2.5

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.6.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Etapa 2.6.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 1 + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$

Etapa 5.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, x, 1, 1$

Etapa 5.2.2

Since $y, x, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Etapa 5.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 5.2.5

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 5.2.6

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 5.2.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 5.2.8

O MMC de $y^{1}, x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y x$

Etapa 5.3

Multiplique cada termo em $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$ por $y x$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' = 1$ por $y x$ .

$\frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$\frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} (y x) + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y' x + \frac{1}{x} (y x) - y' (y x) = 1 (y x)$

Etapa 5.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Fatore $x$ de $y x$ .

$y' x + \frac{1}{x} (x y) - y' (y x) = 1 (y x)$

Etapa 5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' x + \frac{1}{x} (x y) - y' (y x) = 1 (y x)$

Etapa 5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' x + y - y' (y x) = 1 (y x)$

$y' x + y - y' y x = 1 (y x)$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $y x$ por $1$ .

$y' x + y - y' y x = y x$

Etapa 5.4

Resolva a equação.

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Etapa 5.4.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y' x - y' y x = y x - y$

Etapa 5.4.2

Fatore $y' x$ de $y' x - y' y x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Fatore $y' x$ de $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' y x = y x - y$

Etapa 5.4.2.2

Fatore $y' x$ de $- y' y x$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y) = y x - y$

Etapa 5.4.2.3

Fatore $y' x$ de $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y)$ .

$y' x (1 - 1 y) = y x - y$

Etapa 5.4.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$y' x (1 - y) = y x - y$

Etapa 5.4.4

Divida cada termo em $y' x (1 - y) = y x - y$ por $x (1 - y)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.4.1

Divida cada termo em $y' x (1 - y) = y x - y$ por $x (1 - y)$ .

$\frac{y' x (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' x (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (1 - y)}{1 - y} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.2.2

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

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Etapa 5.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - y)}{1 - y} = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.4.4.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{y}{1 - y} + \frac{- y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y}{1 - y} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.2

Para escrever $\frac{y}{1 - y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - y) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.4.3.3.1

Multiplique $\frac{y}{1 - y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y x}{(1 - y) x} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(1 - y) x$ .

$y' = \frac{y x}{x (1 - y)} - \frac{y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y x - y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.5

Fatore $y$ de $y x - y$ .

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Etapa 5.4.4.3.5.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y' = \frac{y (x) - y}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.5.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (x) + y \cdot - 1}{x (1 - y)}$

Etapa 5.4.4.3.5.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x - 1)}{x (1 - y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1)}{x (1 - y)}$