Cálculo Exemplos

$\arcsin (x y) = \frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x y)) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\arcsin (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y)$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (x^{2} y^{2})}} (x y' + y)$

Etapa 2.6.2

Reordene os fatores de $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} (x y' + y)$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3.2

Combine frações.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $4 (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{(1 + 16 x^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.3.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $1 + 16 x^{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.4

Combine frações.

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Etapa 3.3.4.1

Combine $4$ e $\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \cdot 1$

Etapa 3.3.6

Multiplique $\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$ por $1$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8}{3 \cdot 1 + 3 (16 x^{2})}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{8}{3 + 3 (16 x^{2})}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{8}{3 + 48 x^{2}}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$\frac{8}{48 x^{2} + 3}$

Etapa 3.4.4

Fatore $3$ de $48 x^{2} + 3$ .

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Etapa 3.4.4.1

Fatore $3$ de $48 x^{2}$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3}$

Etapa 3.4.4.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3 (1)}$

Etapa 3.4.4.3

Fatore $3$ de $3 (16 x^{2}) + 3 (1)$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}) = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique cada termo em $(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ por $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.1.1

Multiplique cada termo em $(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ por $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.1.2

Reescreva $x^{2} y^{2}$ como ${(x y)}^{2}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x y$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ .

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}) \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Combine frações.

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Etapa 5.1.2.3.1

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.1.2.3.1.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Eleve $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ à potência de $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.3

Eleve $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ à potência de $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.5

Some $1$ e $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.6

Reescreva ${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ como $(1 + x y) (1 - x y)$ .

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Etapa 5.1.2.3.1.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ como ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.2.3.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.6.4.2

Reescreva a expressão.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.1.6.5

Simplifique.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.2

Multiplique $x y' + y$ por $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.3

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 5.1.2.3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.3.3.2

Reescreva $x^{2} y^{2}$ como ${(x y)}^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x y$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

Multiplique $\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

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Etapa 5.1.2.5.1

Combine $\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ e $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.5.2

Eleve $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.5.3

Eleve $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.2.6.1

Reescreva ${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ como $(1 + x y) (1 - x y)$ .

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Etapa 5.1.2.6.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ como ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x y' + y) {({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.2.6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.1.5

Simplifique.

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.2

Expanda $(1 + x y) (1 - x y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.2.6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x y' + y) (1 (1 - x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1.2.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.6.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.1.2

Multiplique $- x y$ por $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x y (x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.2.6.3.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - (x \cdot x) y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.1.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.2.6.3.1.6.1

Mova $y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} (y \cdot y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.1.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.2

Some $- x y$ e $x y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 + 0 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.3.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.5

Reescreva $x^{2} y^{2}$ como ${(x y)}^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - {(x y)}^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x y$ .

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - (x y)))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.6.7

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.7.1

Cancele o fator comum de $1 + x y$ .

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Etapa 5.1.2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.7.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.7.2

Cancele o fator comum de $1 - x y$ .

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Etapa 5.1.2.7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.2.7.2.2

Divida $x y' + y$ por $1$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 5.1.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}$

Etapa 5.1.3.1.2

Reescreva $x^{2} y^{2}$ como ${(x y)}^{2}$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x y$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))}$

Etapa 5.1.3.3

Combine $\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ e $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$x y' + y = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Etapa 5.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y}{x}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $- y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y \cdot \frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.3.3.1

Combine $- y$ e $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} + \frac{- y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Etapa 5.3.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Etapa 5.3.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.4.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Etapa 5.3.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2}) - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Etapa 5.3.3.4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Etapa 5.3.3.4.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Etapa 5.3.3.4.5

Multiplique $- 3$ por $16$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Etapa 5.3.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 5.3.3.6

Multiplique $\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$

Etapa 5.3.3.7

Reordene os fatores em $\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$ .

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$