Cálculo Exemplos

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - y^{2}}$ como ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.6

Diferencie.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.6.2

Combine frações.

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Etapa 4.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.6.2.2

Mova ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Etapa 4.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Etapa 4.6.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Etapa 4.6.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 4.6.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 4.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 4.8

Simplifique os termos.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 4.8.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.8.3

Combine $y$ e $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.8.4

Mova $- 2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{- 2 \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.8.5

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.9

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.9.1

Fatore $2$ de $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 4.11

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y'$

Etapa 4.12

Combine $y'$ e $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{y' y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13

Reordene os fatores em $y' y$ .

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = - \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 6.2.2.2

Divida $\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Etapa 6.3

Multiplique os dois lados por ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum de ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.1.2

Reescreva a expressão.

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.5

Divida cada termo em $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 6.5.1

Divida cada termo em $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Etapa 6.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Etapa 6.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$