Cálculo Exemplos

$x = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.6

Diferencie.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.6.2

Combine frações.

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Etapa 4.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.6.2.2

Mova ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 4.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.8

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$

Etapa 4.9

Simplifique.

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Etapa 4.9.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9.2

Multiplique $2 x + 2 y y'$ por $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9.3

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9.4

Fatore $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9.5

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.9.6.1

Fatore $2$ de $2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.9.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + y y')}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.9.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + y y'}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x + y y' = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2

Simplifique com comutação.

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Reordene $y$ e $y'$ .

$x + y' y = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Reordene $x$ e $y' y$ .

$y' y + x = 1 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y' y + x = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.4.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$

Etapa 6.4.2

Divida cada termo em $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 6.4.2.1

Divida cada termo em $y' y = {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x$ por $y$ .

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' y}{y} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y} + \frac{- x}{y}$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x}{y}$