Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 4) y = 8$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) y) = \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 4$ e $g (x) = y$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x^{2} + 4) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} + 4) y' + y (2 x)$

Etapa 2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$(x^{2} + 4) y' + 2 \cdot y x$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} y' + 4 y' + 2 y x$

Etapa 2.7.2

Reordene os termos.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y'$

Etapa 3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{2} y' + 2 x y + 4 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y' + 4 y' = - 2 x y$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $x^{2} y' + 4 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 4 y' = - 2 x y$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $4 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot 4 = - 2 x y$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' x^{2} + y' \cdot 4$ .

$y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ por $x^{2} + 4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (x^{2} + 4) = - 2 x y$ por $x^{2} + 4$ .

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} + 4}$