Cálculo Exemplos

$y = (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$y = 2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \csc^{2} (3 x - 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (3 x - 1)$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (3 x - 1)$ .

$2 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Etapa 4.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (3 x - 1)$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x - 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x - 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Etapa 4.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Etapa 4.3.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Etapa 4.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Etapa 4.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Etapa 4.3.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 + 0)))$

Etapa 4.3.9

Some $3$ e $0$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \cdot 3))$

Etapa 4.3.10

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- 3 \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

Etapa 4.3.11

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$2 - (- 6 \csc (3 x - 1) (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

Etapa 4.3.12

Eleve $\csc (3 x - 1)$ à potência de $1$ .

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

Etapa 4.3.13

Eleve $\csc (3 x - 1)$ à potência de $1$ .

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc^{1} (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

Etapa 4.3.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 - (- 6 {\csc (3 x - 1)}^{1 + 1} \cot (3 x - 1))$

Etapa 4.3.15

Some $1$ e $1$ .

$2 - (- 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1))$

Etapa 4.3.16

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$2 + 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1)$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$