Cálculo Exemplos

$y = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + \frac{1}{x}$ e $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}] + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.4.3

Multiplique.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.4.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.4.5.2

Some $1 + x^{- 2}$ e $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Etapa 3.4.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 3.4.8

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 3.4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Etapa 3.5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.4.1

Expanda $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.4.2.1.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.4.2.1.3.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.4

Combine.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.4.2.1.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.5.4.2.1.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.5.2

Some $2$ e $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.2.2

Some $\frac{1}{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$x + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.3

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.4

Expanda $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.4.5.1.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.5.1.2

Multiplique $- \frac{1}{x}$ por $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.5.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.4.5.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.5.1.3.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.5.1.3.3

Cancele o fator comum.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.5.1.3.4

Reescreva a expressão.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.5.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Etapa 3.5.4.5.1.5

Multiplique $- \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$ .

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Etapa 3.5.4.5.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}$

Etapa 3.5.4.5.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 3.5.4.5.1.5.3

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x}$

Etapa 3.5.4.5.1.5.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.4.5.1.5.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.5.4.5.1.5.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x^{1}}$

Etapa 3.5.4.5.1.5.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2 + 1}}$

Etapa 3.5.4.5.1.5.4.2

Some $2$ e $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 3.5.4.5.2

Subtraia $\frac{1}{x}$ de $- \frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 3.5.4.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.4.6.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 3.5.4.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 3.5.5

Combine os termos opostos em $x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$ .

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Etapa 3.5.5.1

Subtraia $\frac{2}{x}$ de $\frac{2}{x}$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + 0 + \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 3.5.5.2

Some $x + \frac{1}{x^{3}} + x$ e $0$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 3.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x + x + \frac{1 + 1}{x^{3}}$

Etapa 3.5.7

Some $1$ e $1$ .

$x + x + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 3.5.8

Some $x$ e $x$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$