Cálculo Exemplos

$y = x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{7} \ln (x) - \frac{1}{2} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{7} \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.4

Combine $x^{7}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $x^{7}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Fatore $x$ de $x^{7}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.5.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.5.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.2.5.2.5

Divida $x^{6}$ por $1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - 2 (\frac{1}{2}) x$

Etapa 3.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- 2}{2} x$

Etapa 3.3.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 3.3.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2}$

Etapa 3.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Etapa 3.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) + \frac{- x}{1}$

Etapa 3.3.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6}) - x$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) - x$