Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{8} - \sin (x) + x^{3} \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{8}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{8}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$3 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $8$ por $3$ .

$24 x^{7} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$24 x^{7} - \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} \tan (x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x^{7} - \cos (x) + x^{3} \sec^{2} (x) + \tan (x) (3 x^{2})$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os termos.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$24 x^{7} + x^{3} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Etapa 3.5.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Etapa 3.5.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$24 x^{7} + x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Etapa 3.5.2.4

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Etapa 3.5.2.5

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + 3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.2.6

Multiplique $3 x^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 3.5.2.6.1

Combine $3$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + x^{2} \frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.2.6.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{x^{2} (3 \sin (x))}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.2.7

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique por $1$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.3.2

Separe as frações.

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.3.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$24 x^{7} + \frac{x^{3}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.3.4

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.3.5

Separe as frações.

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Etapa 3.5.3.6

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + \frac{3 x^{2}}{1} \tan (x) - \cos (x)$

Etapa 3.5.3.7

Divida $3 x^{2}$ por $1$ .

$24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 24 x^{7} + x^{3} \sec^{2} (x) + 3 x^{2} \tan (x) - \cos (x)$