Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{5} - 7 x^{3})]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 4 x^{5} - 7 x^{3}$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x^{3}] + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{5} - 7 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$5 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 (x^{3} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.4

Multiplique $5$ por $4$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.7

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + (4 x^{5} - 7 x^{3}) (3 x^{2}))$

Etapa 3.3.9

Mova $3$ para a esquerda de $4 x^{5} - 7 x^{3}$ .

$5 (x^{3} (20 x^{4} - 21 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5} - 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + (3 (4 x^{5}) + 3 (- 7 x^{3})) x^{2})$

Etapa 3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{3} (20 x^{4}) + x^{3} (- 21 x^{2}) + 3 (4 x^{5}) x^{2} + 3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{3} (20 x^{4})) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5

Combine os termos.

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $x^{3}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.1.1

Mova $x^{4}$ .

$5 (x^{4} x^{3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 (x^{4 + 3} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.1.3

Some $4$ e $3$ .

$5 (x^{7} \cdot 20) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.2

Mova $20$ para a esquerda de $x^{7}$ .

$5 (20 \cdot x^{7}) + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.3

Multiplique $20$ por $5$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{3} (- 21 x^{2})) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.4

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.4.1

Mova $x^{2}$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{2} x^{3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$100 x^{7} + 5 (x^{2 + 3} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.4.3

Some $2$ e $3$ .

$100 x^{7} + 5 (x^{5} \cdot - 21) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.5

Mova $- 21$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$100 x^{7} + 5 (- 21 \cdot x^{5}) + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.6

Multiplique $- 21$ por $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (3 (4 x^{5}) x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.7

Multiplique $4$ por $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{5} x^{2}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.8

Multiplique $x^{5}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.8.1

Mova $x^{2}$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 (x^{2} x^{5})) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{2 + 5}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.8.3

Some $2$ e $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 5 (12 x^{7}) + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.9

Multiplique $12$ por $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (3 (- 7 x^{3}) x^{2})$

Etapa 3.4.5.10

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{3} x^{2})$

Etapa 3.4.5.11

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.11.1

Mova $x^{2}$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 (x^{2} x^{3}))$

Etapa 3.4.5.11.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{2 + 3})$

Etapa 3.4.5.11.3

Some $2$ e $3$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} + 5 (- 21 x^{5})$

Etapa 3.4.5.12

Multiplique $- 21$ por $5$ .

$100 x^{7} - 105 x^{5} + 60 x^{7} - 105 x^{5}$

Etapa 3.4.5.13

Some $100 x^{7}$ e $60 x^{7}$ .

$160 x^{7} - 105 x^{5} - 105 x^{5}$

Etapa 3.4.5.14

Subtraia $105 x^{5}$ de $- 105 x^{5}$ .

$160 x^{7} - 210 x^{5}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 160 x^{7} - 210 x^{5}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 160 x^{7} - 210 x^{5}$