Cálculo Exemplos

$y = 5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \cos^{- 4} (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$5 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$5 (4 \cos^{- 5} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 3.3.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 3.3.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 3.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 3.3.7

Some $1$ e $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Etapa 3.3.8

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Etapa 3.3.9

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Etapa 3.3.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Etapa 3.3.11

Some $1$ e $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reordene $- \sin^{2} (x)$ e $\cos^{2} (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 3.4.2

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 3.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 3.4.3.2

Combine $20$ e $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 3.4.3.3

Multiplique por $1$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x) \cdot 1} \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 3.4.3.4

Separe as frações.

$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 3.4.3.5

Converta de $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ em $\sec^{5} (x)$ .

$\frac{20}{1} \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 3.4.3.6

Divida $20$ por $1$ .

$20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$