Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.5

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.6

Multiplique.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.7

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.4.1

Combine os termos opostos em $\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.8.4.1.1

Subtraia $\sin (x) \cos (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 0 - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.1.2

Some $\sin (x) \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.8.4.2.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.8.4.2.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.2

Multiplique $- - \cos (x)$ .

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Etapa 3.8.4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.2.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.3

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 3.8.4.2.3.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.2.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.4.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.8.5

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ em $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \csc^{2} (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$