Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \sec (2 x)$ e $g (x) = 1 + \tan (2 x)$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \tan (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.3.6

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.5

Eleve $\sec (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.7

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \cdot 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12

Simplifique.

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Etapa 3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 \sec (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.12.4.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.1.2

Multiplique $2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

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Etapa 3.12.4.1.2.1

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.1.2.2

Eleve $\tan (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.2

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)$ .

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Etapa 3.12.4.2.1

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.2.2

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.2.3

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $- 2 \sec^{3} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.2.4

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.2.5

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.3

Reordene $\tan^{2} (2 x)$ e $- \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - \sec^{2} (2 x) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.4

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.5

Fatore $- 1$ de $\tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.6

Fatore $- 1$ de $- (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) - \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.4.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.5

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)$ .

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Etapa 3.12.5.1

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.5.2

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $- 2 \sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 3.12.5.3

Fatore $2 \sec (2 x)$ de $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$